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证明函数在某区间单调，必须覆盖区间内任意两个按大小排列的输入，而不只是代入几个数发现结果变大。常用定义法是任取x₁<x₂，比较f(x₂)与f(x₁)，通过作差、变形和符号判断得到统一结论。真正需要说明的是：结论为什么对全部允许输入成立，以及区间条件在哪里发挥作用。下面用平方函数、倒数函数和局部反例展示这个过程。

单调定义包含“任意”，不是“找到两点”

在一个区间内，对任意x₁<x₂都有f(x₁)<f(x₂)，才能称严格递增；若总有f(x₁)>f(x₂)，则称严格递减。不同教材对递增、非递减的用词可能有区分，使用时保留所采用的等号条件，不要混写。

比较f(1)和f(2)，只是检验了一对输入。即使再算几个点，也可能遗漏中间的一段变化。想象一条连接(0,0)、(1,2)、(2,1)、(3,3)的折线，起终点从0升到3，但在1到2之间实际下降，因此整个区间并不递增。

这说明观察与证明承担不同任务：观察可以提出猜想、寻找可能的变化区间；证明则需要排除没有检查到的输入组合。只在答案中写“代入几个值可知递增”，没有完成从少数结果到全体输入的推理。

完整证明：平方函数在非负区间递增

设f(x)=x²，在[0,+∞)内任取x₁<x₂。作差得到f(x₂)−f(x₁)=x₂²−x₁²=(x₂−x₁)(x₂+x₁)。第一个因子因x₂>x₁而为正；第二个因子也为正，因为两数非负且不可能同时为0。因此差为正，得到f(x₂)>f(x₁)。

过程中的关键不是平方差公式本身，而是两个因子的符号都有依据。“任取”使输入不局限于某两个数字，“在非负区间”使和的符号确定。若删掉区间条件，第二个因子就不能这样判断，证明也不能照搬。

边界0不影响这个结论。当x₁=0时，x₂仍严格大于0，所以两因子都为正；不能因为区间含0，就把整段误写成只有大于等于的关系。等号是否可能，仍要结合两点有严格先后这一条件分析。

换到负半轴，哪一步发生变化

在(−∞,0]内仍任取x₁<x₂，平方差变形不变，x₂−x₁仍为正，但x₂+x₁为负，因此f(x₂)−f(x₁)<0，函数在该区间递减。变的不是公式，而是区间决定的符号。

比如−3<−1，平方值却由9变成1。这个数字例子便于理解，但一般结论仍来自前面的任意两数推理。把具体例子与一般证明分开写，能同时保留直观与完整性。

平方函数在全体实数上并不单调，不能将负半轴递减与正半轴递增合成一种全局性质。作答时应明确写出所讨论区间，不能省略成“平方函数递增”。同一函数可以在不同区间有不同变化规律。

倒数函数说明：两个区间不能随意并成一个

对f(x)=1/x，在(0,+∞)内任取x₁<x₂，作差得( x₁−x₂ )/(x₁x₂)。分子为负，分母为正，差为负，所以递减。在(−∞,0)内，两输入都为负，乘积仍为正，类似得到递减。

但不能因此说它在排除0后的整个定义域上递减。取x₁=−1、x₂=1，输入变大，输出却从−1变为1，不满足全局递减。两点分别落在不同区间时，前面“同号所以乘积为正”的前提已经失效。

这个例子提醒，证明前要把研究范围写清，过程中不能只保留方便的条件，结束后也不能把结论扩展到没有证明的范围。图像有断点或定义域分成几段时，尤其需要检查区间边界。

用两种新形式检查是否真正理解定义法

对一次函数f(x)=ax+b，作差后常数b消去，只剩a(x₂−x₁)。两点的差为正，所以a为正时严格递增，a为负时严格递减，a为0时是常函数，不能称严格递增或严格递减。这个例子能看出为什么图像上下平移不改变单调方向，斜率的符号却会改变方向。

若f(x)=√x，在非负区间内作差后，可以将分子分母同乘两根式的和，把差写成输入差除以两根式之和。分子因两点顺序为正，分母也为正，于是得到递增。这里变形的目的不是把式子弄长，而是将不容易直接判断的差，改写成符号来源清楚的形式。

如果只验证“后一个函数值更大”，却没有交代两点来自哪里、是否任意，就仍然不能完成证明。写出范围与顺序之后，每一步应能对任意这一对输入继续成立，而不是途中把它们换成某个方便的具体数字。

作差后怎样检查，才能避免符号判断跳步

每个因子或分母都应注明符号来源：来自两点顺序、区间、平方非负，还是其他题设。分母不能为0也要有保证；含参数时，若符号随参数变化，就需要分类，而不是直接给出一个固定正负。

若不方便作差，可以结合已学方法选择变形或其他证明，但不能省略适用条件。用图像判断时也要说明图像覆盖的范围，不能把一个局部示意当成精确的全域证明。计算工具给出的采样结果同样只是线索，不会自动代替“任意”所要求的覆盖。

练习时，可把同一表达式分别放在正、负及跨越关键点的区间内分析，标出哪一个因子失去确定符号。错题记录写“没有使用区间判断和的符号”，就比只写不够细心更容易修正。证明单调性的核心，是让每一步符号都有条件支撑，让最后结论只落在已经证明的范围。