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二次函数在给定区间上求最值，先把顶点位置与区间放在一起看，再比较合法候选点。顶点不在区间内，就不能直接把顶点纵坐标当作答案；端点不包含时，也未必能取得相应最值。基本顺序是配方或求对称轴，判断开口与单调变化，列出可取的顶点和端点，最后比较函数值。下面通过闭区间、开区间和开口向下的例子完整说明。

先把解析式改写成能看出顶点的形式

以f(x)=x²−4x+5为例，配方得到f(x)=(x−2)²+1，顶点为(2,1)，开口向上。它在对称轴x=2左侧随x增大而减小，右侧随x增大而增大。先有这张关系图，再处理区间，才知道哪些候选值需要计算。

不能看到开口向上就立即写最小值为1。这个结论要以顶点输入x=2允许取到为前提。若题目把输入限制在别处，函数虽然仍是同一条抛物线，但研究的只是其中一段，最值就可能改变。

也不必先把每个整数代进去。区间包含连续实数，只比较少数整数不能覆盖全部位置。用顶点与单调性确定变化，再计算关键点，比列一串数值更完整。

顶点在区间外：用单调性确定端点最值

求f(x)在[0,1]上的最值。整个区间都位于顶点2左侧，函数递减，所以最大值在x=0取得，为5；最小值在x=1取得，为2。顶点纵坐标1没有达到，因为x=2不属于当前区间。

如果区间换成[3,4]，它在顶点右侧，函数递增，最小值在x=3时为2，最大值在x=4时为5。两个例子最值数字恰好相同，但取得位置与变化方向不同，不能只记答案而忽略区间关系。

写解题过程时，先说明区间在对称轴哪一侧，再给出递增或递减，最后列端点数值。这样每一步都有依据，也便于区间改变后重新判断。

顶点在区间内：最小值确定后，最大值仍需比较

在[0,3]上，x=2可以取到，所以最小值为1。最大值则比较两端：f(0)=5、f(3)=2，故最大值为5，在x=0取得。不能因右端点横坐标更大，就认为右端函数值一定更大，因为区间跨过了先减后增的两部分。

对开口向上的抛物线，离对称轴更远的端点函数值更大。在[0,3]中，0到2的距离为2，3到2的距离为1，因此左端更高。这个距离判断可帮助快速比较，但仍应确认表达式、开口与区间条件。

若区间是[1,3]，两端到对称轴距离相同，函数值也相同。最大值可能在两个输入处都取得；最值是数值，取得最值的位置是输入集合，两者应分别写清，避免只给位置或只给一个不完整答案。

开区间与开口向下时，哪些结论要改

将区间改为(0,1)，函数仍递减，数值可以接近5或2，但0和1都不能取到。这个区间上没有最大值5，也没有最小值2，不能因为闭区间例题用过端点，就在开区间继续照抄。若只开放一端，则应分别判断另一端是否仍能取得相应最值。

再看g(x)=−(x−1)²+4，在[−1,2]上开口向下，顶点x=1属于区间，所以最大值为4。最小值比较端点：g(−1)=0，g(2)=3，因此最小值为0。开口改变后，顶点对应的最值类型反过来，但“先看可取位置、再比较候选点”的顺序不变。

若题目带参数，首先要找到区间端点何时越过对称轴、顶点何时进入区间，这些位置就是分类边界。不能在不知道顶点是否可取时就写一个固定最值表达式。

实际应用中，先保留边长等情境限制

假设一个长方形周长为12，令一边为x，则另一边为6−x，两边都必须大于0，所以0<x<6。面积A=x(6−x)=−(x−3)²+9，顶点x=3在允许范围内，最大面积为9。边长趋近0或6时面积可以接近0，但真正的长方形不能取零边长，因此不能写最小面积为0。

若再限定x在[1,2]，区间位于顶点左侧，面积递增，最小值为A(1)=5，最大值为A(2)=8。原抛物线的顶点面积9这时不再可取。这个例子同时说明，解析式、实际意义和额外给定区间都属于条件，不能只挑最容易计算的一项。

比较候选点时也应检查单位。输入是长度，面积结果应对应平方单位；若模型还包含固定费用等其他量，应先说清目标函数是什么，不能把求横坐标与求函数值混为一谈。

若问题要求值域，最值与端点信息还要转成输出区间。例如f在[0,3]上的值域为[1,5]；在(0,1)上则为(2,5)，上下边界都取不到；在[0,1)上则为(2,5]。输入区间左开右闭的形式不能直接原样搬到输出，因为函数可能递减，也可能跨过顶点。先解释函数值怎样变化，再写区间，才能检查端点是否对应。

用三类问题复查，避免只套顶点公式

第一，顶点是否真的在定义范围内，是否包含相应端点；第二，开口与变化方向是否判断正确，跨轴时有没有比较两端；第三，答案是否同时说明最值和取得位置。若题目包含实际数量，还要保留原情境的输入限制。

做变化练习时，可保留同一个函数，依次把区间移到顶点左侧、跨过顶点、移到右侧，再改变开闭。先预测哪些候选点变化，再计算验证。把每次最值改变的原因说清，就能从记住一个公式，走向按条件选择方法。