学而思网校

功与能量题应先选研究对象和过程，再判断使用动能定理、机械能守恒还是更完整的能量关系。动能定理关注合外力做功与动能变化，机械能守恒则需要相应作用条件，不能仅凭“没有写摩擦”就默认成立。下面用水平运动、下落与滑动三个例子，区分力做功、能量转移和系统边界。

先写起点与终点，功是过程量

设2千克物体在水平面上沿右方运动5米，受向右10牛恒力和向左4牛恒定摩擦，竖直方向不位移。拉力做功50焦，摩擦做功−20焦，重力和支持力均做功0，合功30焦。

若初速2米每秒，初动能为1/2×2×2²=4焦，末动能为34焦，所以末速√34米每秒。这里合功增加动能，而不是每个力的功都分别加进“能量损失”。负功已经在合功里计入，不能又额外减一次摩擦功。

若力与位移不共线，恒力功为力、位移大小和夹角余弦的乘积。力垂直位移时功为0，有力不等于做了功；物体没有发生位移时，这个力也没有对该物体完成相应机械功。

动能定理不用先假设机械能守恒

对研究物体，合外力做功等于末动能减初动能，重力、弹力、摩擦和外拉力都按各自功计入。它适合已知位移与力、关心速度而不直接关心时间的问题，但具体力是否恒定、路径如何，仍决定功怎样计算。

前面的水平例题有摩擦，机械能并不保持不变，却完全可以使用动能定理。若误认为“有摩擦就不能用能量方法”，会失去一条有效路线。需要区分不能直接用机械能守恒与不能讨论任何能量关系。

若题目求运动时间，单靠初末能量通常不足，因为不同过程可能有相同功和末速度，却耗时不同。选择方法时应同时看已知量与所求量，不能因为会写能量式就把所有问题都归成同一种模型。

机械能守恒，要检查势能与非保守作用

物体在忽略空气阻力的重力场中下落，考虑物体与地球系统，重力势能减少、动能增加，机械能守恒。质量1千克，从5米高度静止释放，取g=10，落地前势能减少50焦，动能增加50焦，速度为10米每秒。

势能零点可选在地面，也可另选位置，但同一过程的势能差不变。不能一边用离地高度算初势能，一边用另一个参考面算末势能而不说明，混合零点会制造不存在的能量变化。

若存在空气阻力，减少的重力势能一部分转为物体动能，一部分进入内能等形式，不能仍把全部50焦都给动能。是否可忽略阻力是模型条件，不是因为题目图上没有画箭头就自动消失。

有摩擦的斜面，怎样保留完整能量账

假设1千克物体从高5米处静止沿固定斜面滑下，整个过程摩擦对它做功−10焦，其他作用满足简化模型。重力做功50焦，支持力不做功，合功40焦，所以末动能40焦，末速√80米每秒。

也可写初机械能50焦、末机械能40焦，差10焦转为相关内能。两种写法一致，但对象与系统解释不同：对单个物体记摩擦外力功，对物体和斜面整体则讨论内部摩擦造成的机械能转化。

不能同时将“摩擦功−10”和“内能增加10”在同一能量等式里重复扣除。先选一种清晰的记账方式，逐项指出能量从哪里来、到哪里去，再检查总量是否对应。

系统改变，内外作用的身份也会改变

把物体单独作为系统时，地球重力属于外力；把物体与地球作为系统时，可以使用系统重力势能。相互作用对应势能，不是孤立物体凭空拥有一个与任何对象无关的“高度能量”。中学可用简化说法，但计算边界应一致。

弹簧也是类似情况。若研究物体和弹簧系统，弹性势能与动能可相互转化；如果还有外人拉动弹簧或接触面摩擦，应把额外能量输入和转化加入。不能只见到弹簧就默认机械能守恒。

多个物体还要注意总动能是各自动能之和，不是总质量乘某个未必共同的速度平方。只有它们确实具有同一速度时，才能按共同速度合并表达。

用符号、单位与极端情形回查

功与能量单位均为焦，但功率是单位时间的能量转移率，不能把它们混写。末动能必须非负，计算出负值往往表示物体到不了所设终点，或力功与初始条件使用不当，需要回到过程判断。

将摩擦功设为0，结果应退回相应无损耗模型；将位移设为0，恒力机械功应为0。最后把答案写回速度、能量或高度等实际所求，明确研究时段。方法选择正确以后，一张起终状态和功的清单就能使能量题更容易检查。

若已知位移而力随位置变化，不能直接拿某一点力乘整段位移。应依据题目给出的力与位移关系，用适用的图像面积或数学方法求功，再进入能量账，不能把恒力公式跨用到任意变力。