学而思网校

几何证明想不到辅助线时，先把已知条件与待证结论翻译成可用关系：要证明两段相等，可能寻找全等、等腰或圆的性质；要证明垂直，可以寻找直角、角度互余或垂直平分线。辅助线不是凭空猜出的技巧，它应当把缺少的一步补到一条明确的证明链上。

先把结论拆成“需要证明什么关系”

例如要证明D到A、B距离相等，即DA=DB，可以尝试证明D在AB的垂直平分线上，也可以找到包含DA、DB的两个全等三角形。两条路线需要的已知不同，先列候选判据，再看题目已经提供了什么。

如果题目给D是某条中线上的点，还要检查那条中线所属三角形是否等腰。普通三角形的中线只保证平分对边，不自动垂直对边，也不自动平分顶角。将“中点”“垂直”“角平分”分别写清，能避免图形看起来对称带来的误用。

已知关系可按边、角、位置三类整理。位置条件如点在线段上、两点在直线同侧，看似不产生数值，却决定某个角是内角还是外角，以及两个长度是相加还是相减，不能省略。

一个完整例题：等腰三角形中作顶点到中点的线

在三角形ABC中，AB=AC，D为BC中点。连接AD，比较三角形ABD与ACD：AB=AC来自已知，BD=DC来自中点，AD=AD为公共边，因此由边边边可知两三角形全等。

对应角ADB与ADC相等，同时因为B、D、C共线，这两个角之和为180度，所以各为90度，AD垂直BC。对应角BAD与DAC也相等，说明AD平分顶角。一条线同时获得中线、高与角平分线性质，是等腰条件与全等推理共同支持的结果。

如果删去AB=AC，剩下中点与公共边就不足以证明全等，也不能推出垂直。这是检查证明是否真正使用关键条件的方法：去掉一个已知，看看某一步依据是否失效，而不是只看最终图形是否还画得像。

什么时候连接，什么时候延长

连接已有两点，常用于构造公共边、把四边形分成三角形，或让圆周角对应同一条弦。比如四边形中两组邻边分别相等，连接适当对角线后，就可能用边边边获得全等，再推导角相等。

延长线则常用于补出外角、把两段放在同一直线上或构造相等线段。但延长后必须说明方向与新点位置。例如“延长AD至E，使DE=AD”意味着D在A、E之间；若点的顺序没说清，后面的长度和角度关系可能完全不同。

作平行线常用于转移角度，作垂线常用于构造直角三角形或表示点到线距离。选择前先问：这条线能把哪一个未知量转成已知关系？若回答只有“看起来方便”，说明还没有建立辅助线与目标的联系。

另一个例题：梯形中怎样转移一条腰

设梯形ABCD中AB平行CD，且AB长于CD，按顺序A、B、C、D排列。过C作CE平行AD，交AB于E。此时AE平行CD、EC平行AD，四边形AECD为平行四边形，因此AE=CD、EC=AD。

这样EB=AB−CD，原来两条平行底边的差变成同一条直线上的一段，腰AD也被转移为三角形EBC中的EC。若另已知AD=BC，则EC=BC，三角形EBC为等腰三角形，可以继续研究角与高。

这里作线的理由很具体：把分散在梯形两侧的长度，集中进一个三角形。若题目目标是求面积，作高可能更直接；若目标是比较两腰与底差，转移腰更合适。辅助线的价值取决于它能否缩短当前证明链。

把尝试变成可复用的思考顺序

先从结论倒推一个可用判据，再从已知正向推一两步，寻找两条链之间缺少的边或角。缺公共边就考虑连接，缺角度对应就考虑平行，缺距离表达就考虑垂线；不要一次画很多线，让新点比原条件还难管理。

每添一条线都要写下立刻得到的关系，并区分作图保证的性质与还需要证明的性质。作了过点的垂线，可以使用直角；随手连了一段斜线，就不能直接标相等或平分。图中所有关键标记都应有文字依据。

完成后遮住原证明，只保留已知与目标，尝试解释“为什么作这条线”。再将等腰改成一般三角形、将中点改成任意点，指出结论在哪一步不再成立。能讲清条件与辅助线的作用，比记住一张特定图的画法更能应对变化题。

证明完成后，再检查对应关系有没有错位

全等三角形的顶点顺序应与已证明的对应关系一致。在等腰例题中，三角形ABD对应ACD，A对应A、B对应C、D对应D，因此可以推出∠BAD=∠CAD、∠ADB=∠ADC。若把顺序随意写成另一种，引用对应角时可能产生错误。

每个辅助点也需要来源。D是已知中点，AD是所连接的线段，不能在后文突然使用一个未定义的E。对于延长线或交点，要检查作图在题目条件下是否存在，点是否落在要求的线段而不是延长线上。

最后将图旋转或画得不那么对称，再读一遍文字证明。如果某一步只在原图看起来成立，却没有依据，说明还需补证明。几何推理应在不依赖精确画图的情况下仍然成立，辅助线只是显现关系，不是创造未经证明的性质。