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导数等于零的点不一定是极值点。判断极值，要看函数在该点附近是从增到减、从减到增，还是保持同一变化方向。x³在0处导数为0，却始终递增；x²在0处导数为0，并由递减转为递增，因此有极小值。下面把驻点、不可导点与区间最值分别讲清。

先看定义：极值是附近比较，不是全局比较

若函数在某点附近的其他定义域内点处，函数值都不大于该点的值，可以讨论局部极大；不小于则讨论局部极小。中学通常研究区间内部的极值点，端点能否按某种局部定义纳入，需要按教材和题目约定处理，不宜混用。

区间最大值则要与整个研究区间内的所有函数值比较。一个局部极大可能小于远处另一个点，也可能在未包含端点的区间里根本没有全局最大值。题目问“极值”还是“最值”，应在计算之前先辨认。

函数在内部点可导并取得极值时，导数为0是必要条件，但反过来不一定成立。记住这个方向，便知道求出导数零点只是筛选候选，后面还要检验变化，而不是立刻宣布全部都是极值点。

对比x平方与x立方，导数同为零为何结果不同

f(x)=x²，导数为2x。0左侧导数为负，函数递减；右侧导数为正，函数递增，所以在0处取得极小值0。变化表应写出左右区间符号，再写函数的升降与极值，不是只标一个导数零点。

g(x)=x³，导数为3x²，在0两侧都为正，函数两边都递增。虽然g′(0)=0，但左侧函数值小于0，右侧大于0，0既不高于附近所有值，也不低于附近所有值，因此不是极值点。

两个例子说明，导数为零可以表示切线水平，却不保证图像在这里“转头”。图像经过一个较平的位置继续向上，与达到峰顶后向下，是两种不同现象，必须看邻近行为。

完整例题：求导、分区间、检查符号

设f(x)=x³−3x，导数为3(x−1)(x+1)，候选点为−1与1。以这两点把实数轴分成三个区间：小于−1时两个因子均负，导数为正；−1到1之间一负一正，导数为负；大于1时均正，导数为正。

因此函数先增、再减、再增。x=−1处从增转减，极大值f(−1)=2；x=1处从减转增，极小值f(1)=−2。答案应同时写取得位置与对应函数值，不能只给−1、1而未说明它们是什么。

若题目改为求闭区间[−2,3]上的最值，还应比较端点与内部候选点。f(−2)=−2、f(3)=18、f(−1)=2、f(1)=−2，所以最大值18，最小值−2在两个位置取得。这与局部极大值2不是同一个结论。

导数不存在的点，也可能有极值

f(x)=|x|在0不可导，但左侧递减、右侧递增，0仍是极小值点。若只解f′(x)=0，就会漏掉这个点。研究分段、绝对值或其他不可导情形时，要把定义域内部的异常点单独列为需要检查的位置。

也不能看到不可导就一律认定极值。例如某些函数在一个点不连续或斜率异常，附近函数值可能从小到大穿过去，仍无极值。判别最终要回到附近大小关系，不能把某一种异常当成结论本身。

分段函数在分界点还要检查实际定义值。左右两侧的趋势只能提供部分信息，分界点取值若单独改变，局部比较也可能改变。写出该点函数值，再与两侧邻近值比较，才能避免只看导数表而忽略函数定义。

建立一张不会漏点的检查表

第一步写定义域与研究区间；第二步找内部导数零点和需单查的不可导点；第三步在各分段确定导数符号；第四步检查候选点左右变化。若求最值，再加入被包含的端点，并分析开区间边界是否只能逼近而不能取得。

符号检查应覆盖整个相关小区间，而不是随意代一个点就默认没有其他零点。因式分解后确认所有变号位置，或用可证明的符号关系，才能支持整段单调性的判断。遗漏导数分母的零点也可能使变化表失效。

最后用三个例子自测：x²说明驻点可有极值，x³说明驻点未必有极值，|x|说明极值未必在可导点。能解释三者各自的左右变化，再做闭区间最值题时补上端点，极值与最值的计算就会更完整。

二阶导数可以辅助，但为零时不能草率下结论

若函数在驻点附近满足相应可微条件，二阶导数在该点大于0可判为局部极小，小于0可判为局部极大。对x²，二阶导数恒为2，与左右导数变号结果一致。它是便捷判别，不是唯一方法。

但二阶导数为0时，这个简单判别不能决定结果。x⁴在0处二阶导数为0，却有极小值；x³在0处也为0，却无极值。此时回到一阶导数符号或函数值比较，不能把“判别失败”误读成“没有极值”。

如果课程尚未涉及二阶导数，完全可以使用前文的符号表，不必为了显得高级引入新工具。选择自己能够说明前提的方法，写清左右变化与候选点取值，所得结论同样完整，而且更容易在分段或不可导问题中扩展。