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排列与组合最直接的区别，是交换所选对象的位置后，是否被题目视为一个新结果。选出两名代表，只看选中谁，通常用组合；选出一名组长和一名记录员，角色不同，交换角色就产生新结果，通常用排列。判断前必须先定义“一个结果包含哪些信息”，不能只看题目有没有出现“选”或“排”。

用三个名字，先把结果真正列出来

从甲、乙、丙三人中选两名代表，结果只有甲乙、甲丙、乙丙三组。甲乙与乙甲包含相同成员，题目没有职位和先后要求，因此是同一组。这个小例子说明组合是在挑成员，不记录成员的排列顺序。

若改成选一名组长和一名记录员，且同一人不能兼任，则甲组长乙记录员、乙组长甲记录员是两个不同结果。三人任选一名组长有3种，剩下任选记录员有2种，共3×2=6种，这是有角色区别的安排。

人数再大，也可以先拿三个人缩小问题。若交换后连“谁做什么”都变了，顺序或位置就是结果的一部分；若只改变书写顺序而没有改变实际名单，就不应重复计数。

乘法与除重复，分别在解决什么问题

从5人中依次选3人承担三个不同任务，不允许兼任，第一步5种，第二步4种，第三步3种，共60种。每次选完后，下一次可选对象减少，这是不放回且角色有区别的条件，不能写成5的三次方。

如果只是从5人中选3人组成一个小组，前面60个有序结果把同一组三人写成了6种顺序。每组恰好重复3×2×1=6次，所以应除以6，得到10组。除重复不是看到数字大就随便除，而是要证明每个目标结果被算了同样多次。

这也是组合数公式的来源之一。先有序选取，再去掉组内顺序造成的重复。若对象重复次数并不相同，就不能直接用一个统一除数；先找到重复来自哪里，比急着套公式更重要。

允许重复与不允许重复，要在题目里分开看

用1、2、3组成两位数，若数字可以重复，十位3种、个位仍有3种，共9个；不允许重复时，十位3种、个位只剩2种，共6个。两种情形都看位置，但可选集合不同，不能把“有顺序”误当作“一律用不放回排列”。

若数字中有0，还要处理首位限制。用0、1、2组成不重复的两位数，十位只能选1或2，有2种，个位再从剩下两数中选，有2种，共4个。把0放在十位写成01不构成通常意义的两位数，这个无效结果需要在计数时排除。

可以先列合法结果12、10、21、20，再核对乘法是否覆盖且不重复。小规模列举不是低级方法，而是对模型的独立检查，尤其适合发现被首位、角色或兼任条件漏掉的限制。

分类与分步，要看最后一个结果如何形成

从3名女生和2名男生中选2人，要求至少一名女生，可按女生人数分为一女一男和两女两类。前者3×2=6组，后者从3女中选2人为3组，合计9组。两类互不重叠，而且覆盖全部合法情况，才可以相加。

也可从所有两人组10组中减去两男这一组，仍得9组。正面分类与反面扣除得到一致结果，是很好的检查。但“至少一名”不能拆成“先选一名女生，再任意选一人”，因为两女组会因先选谁而被重复计算。

分步乘法要求一个结果需要连续完成几步；分类加法要求一个结果只落在某一种情况。判断依据不是句子长短，而是各部分结果能否共同组成一次选择，或者彼此是互斥的不同选择路线。

给计数过程加上结果检查

写解答时先说明对象是否可重复、位置是否不同、是否有先后限制，再列式。例如“5选3”本身信息不足，可能问小组，也可能问岗位安排；只写一个组合数或排列数而不解释，无法证明模型与题意一致。

得到答案后检查数量级：加上限制后的结果不应超过没有限制的结果；把角色去掉后，结果数通常不会更多。若两种分类方法得到不同数字，先查是否有重叠或遗漏，不要把其中一个答案强行改成另一个。

再做一题反向变式：仍是选两人，把“代表”改成“第一、第二发言人”，看看为什么原来的每一组变成两种安排。能指出一个结果到底记录了什么，就能在排列、组合与允许重复的分步计数之间作出清楚选择。

相同物品与不同对象，计数口径也会变化

若把三张不同号码卡排成一列，有6种顺序；若三张卡分别写A、A、B，两个A在结果中不区分，则只有AAB、ABA、BAA三种。不能因为摆了三件实物，就默认最终排列能够区分每一件。

也可临时给两个A编号得到6种，再发现每种文字序列都因交换两个A重复2次，所以除以2。这个除数有明确重复来源，与前面无职务小组去掉组内顺序的思路一致。若题目另有颜色或编号可以区分两个A，结果数又会改变。

因此开始列式前，应把“结果看什么”写成一句话：只看成员、看角色、看数字顺序，还是看最终字符。对象在现实里能否辨认与题目是否把它们视为不同结果，不应混为一谈。