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条件概率是在已知某个事件发生后，重新计算另一个事件的概率。变化的核心不是把原来的分子换一下，而是把讨论范围缩小到已经满足条件的结果之内。在有限等可能模型里，条件范围中有多少结果就成为新的分母；若结果不等可能，则必须使用相应概率权重。

先用两个骰子，看清分母为什么会缩小

投掷两枚可区分、公平且独立的六面骰，共有36个等可能有序结果。现在已知“点数和为偶数”，满足条件的结果必须是同奇或同偶：两种情况各3×3=9个，共18个。新的讨论范围是这18个结果，不再是全部36个。

在这个条件下，求“两枚骰子都是偶数”的概率。两枚均偶有9个结果，而且都属于点数和为偶数的条件范围，所以答案是9/18=1/2。若直接写9/36=1/4，算到的是没有给定条件时的概率，回答了另一个问题。

相反，已知“两枚都是偶数”后，点数和为偶数必然成立，条件概率为1。条件和目标交换，结果可能完全不同。读题时把“已知什么”与“想求什么”分别写出，可以避免把二者位置颠倒。

条件概率公式，交集与条件各在什么位置

用A表示目标事件，B表示已知条件，在P(B)大于0时，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。分子表示同时满足目标和条件，分母表示条件本身。公式不是把A的概率直接除以B，除非A本来就是B的子事件。

例如一班40人中，20人参加阅读社，12人参加科学社，其中8人两个社都参加。已知某人参加阅读社，求其也参加科学社的概率，应为8/20=2/5；已知参加科学社，求也参加阅读社，则为8/12=2/3。

这组人数是假设教学数据，不代表任何真实班级。其作用是说明，交集同为8人，条件范围却可以是20人或12人，因此两个条件概率并不相等。用交叉表把两个集合画清，比只记公式中的字母位置更容易解释。

不放回抽取，前一次结果会改变后一次机会

袋中有3个红球、2个蓝球，等可能不放回抽两次。若已知第一次抽到红球，第二次红球概率为2/4=1/2；若第一次抽到蓝球，第二次红球概率为3/4。两种情况中剩余球数都是4，但剩余红球数不同。

如果还不知道第一次颜色，求连续两次都是红球，应计算3/5乘2/4=3/10。这里先发生的分支概率与该分支条件下的后续概率相乘。不能用3/5乘3/5，因为第一次没有放回，后续模型已经改变。

题目若改为有放回并充分混匀，第二次红球概率仍是3/5，这时前次结果不改变第二次机会。是不是独立要由试验机制判断，不是只因“两次抽取”这几个字就自动成立。

“至少一个”条件，必须说明信息怎样得到

两次公平抛硬币，已知至少一次正面，剩余结果为正正、正反、反正，三者等可能；两次都正的概率是1/3。若条件改成“第一次是正面”，剩余只有正正与正反，概率变为1/2。

两个条件听起来都包含一个正面，却筛选了不同的结果集合。尤其现实提问中，“随机看见一个结果”与“被告知至少一个”可能有不同的信息产生方式；题目没有说清时，需要先明确试验和告知规则，不能套同一个数字。

做题时可以直接给被排除结果画叉，再数剩余结果。这个动作相当于把条件落实到样本空间。如果留下的结果概率不同，就要保留各自权重，不能把“剩下几项”误当作“每项一样可能”。

判断独立性，以及最终答案的检查

在P(B)大于0时，若P(A|B)=P(A)，说明B没有改变A发生的概率；这与P(A∩B)=P(A)P(B)的独立关系一致。互斥则表示两个事件不能同时发生，对概率都为正的事件而言，通常不会独立，因为知道一个发生就排除了另一个。

拿骰子再验证：目标为第一枚偶数，条件为第二枚偶数，独立机制下概率仍是1/2；目标改成两枚都偶数，条件改成和为偶数，概率从1/4变为1/2，就不能把这两个事件当成独立。

最后依次检查条件概率是否在0到1之间，目标是否确实与条件同时满足，分母是否对应已知范围。保留“先圈范围、再找交集”的图解，换一个条件重做，才能确认自己掌握的是重新分配讨论范围的方法，而不只是背会一个分式。

用交叉表检查人数条件是否自洽

前面的40人例子中，两个社都参加8人，只参加阅读社12人，只参加科学社4人，两社都不参加16人。四格合计40，阅读社一列合计20，科学社一列合计12，所有边际人数与题目相符。

若改问“已知至少参加一个社，求同时参加两个社”，条件范围是20+12−8=24人，概率应为8/24=1/3。减去交集是为了避免把同时参加者算两次，不能直接把分母写32。

这个变式让同一份资料产生第三个条件概率，仍然遵守先圈条件范围、再找目标交集的顺序。用完整四格表核对时，还能发现题目数据是否可能：交集不能超过任一社人数，各格人数不能为负，条件总人数也必须大于零。