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概率计算前先列样本空间，是为了弄清“所有可能结果是什么”和“这些结果是否等可能”。只有在有限且等可能的模型中，才能直接用有利结果数除以总结果数。把两个骰子的和写成2到12共11种，再给每种相同权重，就是忽略了不同和对应的基本结果数量。

先确定一次试验，到底记录到哪一层

抛一枚公平硬币两次，若记录每次正反面，样本空间可写成正正、正反、反正、反反，四个结果等可能。事件“恰好一次正面”包含正反与反正，因此概率为2/4=1/2。这里顺序需要保留，因为第一次与第二次是不同位置。

若只写正面次数为0、1、2，虽然这三种次数覆盖全部情况，却不等可能。次数为1包含两个原始结果，次数为0和2各只包含一个，不能直接说每种次数概率都是1/3。合并结果时也要合并相应的概率权重。

“结果不同”与“概率相同”是两件事。列出一个分类表，只说明没有漏掉类别；还需要结合公平性、独立性或题目给出的概率，判断每个类别的权重，不能由类别数量自动推出等可能。

两个骰子，为什么要写成有序数对

投掷两枚可区分的公平六面骰，若假设独立，每个有序结果(i,j)都有1/36的概率。第一枚6种、第二枚6种，共36个基本结果。用红骰和蓝骰区分，或用第一次与第二次区分，都能让记录规则明确。

和为7的结果有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6个，所以概率为1/6。和为2只有(1,1)，概率是1/36。两种和都只是一个数字类别，但它们的概率明显不同。

若把(1,6)与(6,1)合并成一组，又把(1,1)视为一组，这些无序组也不再等可能。要么坚持使用36个等可能有序结果，要么明确计算每个合并组的权重，不能在两种计数口径之间中途切换。

抽球题的颜色相同，不一定代表同一个基本结果

袋中有两个红球R₁、R₂和一个蓝球B，球被等可能抽取。连续不放回抽两个，并记录顺序，可以列出R₁R₂、R₁B、R₂R₁、R₂B、BR₁、BR₂六种。事件“一红一蓝”占其中4种，概率为2/3。

若只写颜色结果红红、红蓝、蓝红，三类虽然在这个具体例子里碰巧各占两种，但换成三红一蓝后就不再等权。把球编号能保留原本的等可能性，再按颜色合并，可以避免依靠偶然对称得出错误结论。

不放回还会改变第二次的可选集合。第一次抽完后只剩两个球，所以每个有序基本结果概率为1/3乘1/2。若允许放回，第二次仍有三个球，样本空间与同色概率都需要重新建立，不能沿用原表。

树状图怎样画，才不会只剩下装饰

树状图每一层表示一次选择或试验，每条分支写清结果与条件概率。从起点沿一条完整路径走到末端，才得到一个完整结果。同一路径上概率相乘，不同且互斥的目标路径再相加。

以前述抽球为例，先抽到红球概率2/3，此时再抽蓝球概率1/2，该路线为1/3；先蓝后红为1/3乘1，仍为1/3。两条路线相加为2/3，与编号列举一致。第二层的概率必须随第一层结果更新。

检查图时，任意同一节点向外的分支概率应加为1，所有完整路径的概率也应加为1。若某个结果可能出现却没画出分支，或某条路径重复计入，两种总和检查常能暴露问题。

算完概率，再检查事件和模型是否对得上

事件“至少一次正面”包括一次或两次正面，不等于“恰好一次正面”。在两次公平抛硬币中，它的概率为3/4，也可用1减去两次反面的1/4。先把事件翻译成结果集合，往往比马上列分数更容易避免措辞误读。

有限等可能计数不是所有概率问题的通用公式。若硬币不公平、骰子各面机会不同，仍可列结果，但要按题目权重计算；若涉及连续取值，不能靠“点的数量”直接相除。模型的前提必须在列式之前确定。

一道题做完后，改变一次记录规则检验：把有序结果合并成类别，重新计算各类权重，看看总概率是否保持1。样本空间不仅帮助找分母，也帮助说明分子对应什么，从而让每一个概率数字有明确含义。

频率表与理论样本空间，不是同一份材料

假设两骰子实际投了20次，某个点数和没有出现，不能因此从理论样本空间里删掉它。试验记录只表示这20次观察到什么，理论模型则说明按机制有哪些可能结果，两者的范围与用途不同。

频率可以用来观察模型是否大体符合记录，但小样本中各类频率不同很常见，不会自动推翻公平假设。反过来，也不能因为本次刚好均匀，就证明骰子一定公平。是否公平是模型假设或需要额外证据检验的性质。

做题时把“预计概率”“实际次数”和“相对频率”分别标注。若模型给某事件概率1/6，20次并不要求恰好出现20/6次；出现次数必须是整数，理论概率则描述长期重复下的机会结构，不能当成每小组试验的固定配额。